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線型空間 - 数学 27 Jul 2013 | 02:46 pm
定理 k を体とするとき選択公理 ⇔ 任意の k -線型空間 V とその部分空間 A に対し， A の補空間 B が存在する．(即ち， A⊕B=V となる B ．) 証明 ( ⇒ ) X := { W⊂V | W は部分空間， A∩W=0 } にZornの補題を適用すればよい． ( ⇐ )\AMC { Xλ } λ∈Λ を互いに素な非空集合， X := ∪λ∈ΛXλ と...
Königの定理 - 数学 1 Jul 2013 | 06:56 pm
順序数や濃度の基本的な性質については順序数・濃度の簡単なまとめを参照． 次の命題をKönigの定理という． 命題 { Xλ }λ∈Λ と { Yλ }λ∈Λ が集合族で，各 λ∈Λ に対して |Xλ| < |Yλ| ならば， |∪λ∈ΛXλ| < |Πλ∈ΛYλ| である． 定理 次の命題は( ZF 上)同値． 選択公理 各 λ∈Λ に対して |Xλ| < |Yλ| ならば， |...
濃度の性質 - 数学 22 Jun 2013 | 10:21 pm
以下の命題の証明は順序数・濃度の簡単なまとめを参照． 命題1 任意の濃度 κ, λ について κ≦λ ⇔ ある濃度 μ が存在して κ+μ=λ 命題2 濃度 κ, λ≧2 に対し κ+λ≦κ・λ ． 命題3 任意のアレフ に対して 2= ． 命題4 任意のアレフ , ' に対し ・' = +' = max { , ' } ． 命題5 濃度 κ, λ, μ とアレフ が κ・≦λ+μ を満...
濃度の比較可能性 - 数学 22 Jun 2013 | 10:13 pm
順序数や濃度の基本的な性質， Γ(X), K(X), κ*, κ† については順序数・濃度の簡単なまとめを参照． 定義 濃度 κ, λ が比較可能 ⇔ κ≦λ または λ≦κ 定理1 次の命題は( ZF 上)同値 選択公理 任意の濃度 κ, λ は比較可能 0≦κ, λ ならば κ, λ は比較可能 任意の濃度 κ, λ について， κ≦*λ または λ≦*κ ． 0≦κ, λ ならば κ≦*λ....
順序数・濃度の簡単なまとめ - 数学 22 Jun 2013 | 09:47 pm
このPDFでは選択公理を仮定しない． 順序数についてはそのうち書きます． |X| で X の濃度を表す． 定義 X と Y を集合とする． |X|≦|Y| ⇔ 単射 X→Y が存在する |X|=|Y| ⇔ 全単射 X→Y が存在する |X| < |Y| ⇔ |X|≦|Y| かつ |X|≠|Y| |X|≦*|Y| ⇔ 全射 Y→X が存在するか， X= ∅ |X| &...
Löwenheim-Skolemの定理 - 数学 15 Jun 2013 | 07:23 pm
定理 次の命題は(ZF上)同値． 選択公理 下降Löwenheim-Skolemの定理 一階論理式 φ が濃度 κ のモデルを持つとする． 0≦μ≦κ ならば φ は濃度 μ のモデルを持つ． 上昇Löwenheim-Skolemの定理 一階論理式 φ が濃度 κ のモデルを持つとする． μ≧κ ならば φ は濃度 μ のモデルを持つ． 証明 (1 ⇒ 2)略． (2 ⇒ 3)自明． (3 ⇒ ....
選択公理は直感に反さないだろいい加減にしろ! - algebraic dialy 12 May 2013 | 12:01 am
選択公理についてググると以下のようなページがヒットするわけですが、この説明は良くないと思うのでここで少し説明を書いておこうと思います。 選択公理 - Wikipediaより この公理を認めると、一つの球を有限個に分割してそれぞれを集めて元の球と同じ体積の球を二つ作ることができるという、常識では考えられないことが起こる（バナッハ＝タルスキーのパラドックス）。従って、この公理の妥当性に疑問を持つ数学者...
Loeb空間 - 数学 14 Apr 2013 | 05:28 pm
定義 X を位相空間とし，X の空でない閉集合全体のなす集合を AX0 で表す． X がLoeb空間 ⇔ AX0 が選択関数を持つ． X が弱Loeb空間 ⇔ AX0 が以下を満たす関数 f: AX0→P(X) を持つ． 任意の F∈AX0 に対して 0
群や環の直積 - 数学 3 Apr 2013 | 07:53 pm
選択公理とは「非空集合の族に対して≠∅」であった．これをXλを別のもの，例えば群にした場合どうなるであろうか? { Gλ }λ∈Λ を群の族とする．このとき明らかに(選択公理によらず)Πλ∈ΛGλ≠∅である．何故ならば eλ を群 Gλ の単位元とすれば (eλ)∈Πλ∈ΛGλ となるからである． また，互いに異なるλ0, …, λn∈Λを任意に取り gλ = 任意のg∈...
Banach-Tarskiの定理 - 数学 24 Mar 2013 | 05:40 pm
定義 X = YZ ⇔ X=Y∪ZかつY∩Z=∅ X, Y⊂R3を有界部分集合とする．このときあるr=(a, b, c)∈R3が存在して X∩(Y+r) = ∅ ( Y+r := { (x+a, y+b, z+c) | (x, y, z)∈Y } ) とできる．この r を使って X⊕Y := X(Y+r) と定める． もちろんこの X⊕Y はrの...
